Тектология и двойственность в термодинамике

Е. В. Шипицын

Если я не имею ничего другого
сказать о теплоте кроме того, что
она представляет собой движение
молекул, то лучше мне замолчать.

Фридрих Энгельс,
“Диалектика природы”

Движение, как известно, есть способ существования материи, а физика – наука об изучении наиболее общих его свойств и форм. Простейшая форма движения – механическая – представляет собой относительное перемещение тел в пространстве с течением времени. Однако свойства систем, состоящих из огромного числа таких тел, уже не подчиняются законам механики (в частности, не зависят от начального положения каждого тела). Данное обстоятельство является иллюстрацией диалектического закона перехода количества в качество: возрастание числа механически движущихся частиц в системе (например, молекул или атомов в окружающих нас телах) порождает новую форму движения материи – тепловую.

Существуют два метода изучения тепловой формы движения материи – микроскопический (статистическая физика) и макроскопический (термодинамика). Первый из них основан на модельных представлениях об атомно-молекулярной структуре вещества и широком применении математической теории вероятности, а второй не опирается ни на какие атомно-молекулярные рассуждения, заключается в установлении связей между непосредственно наблюдаемыми физическими величинами и является, в сущности, феноменологическим (т.е. опирающимся на экспериментальные данные).

Термодинамический подход, с одной стороны, обладая большей общностью и простотой, позволяет получить множество важных и конкретных результатов в отношении свойств рассматриваемых систем, а с другой стороны, не располагая никакой информацией о структуре данных систем, ограничивает глубину изучения этих свойств, так как не позволяет вскрыть природу (внутренний механизм) исследуемых явлений [1]. Статистический же метод, хотя и страдает некоторой громоздкостью и модельной ограниченностью, с самого начала опирается на атомно-молекулярные представления, вследствие чего позволяет описать механизм любого рассматриваемого им явления, а также дать строгое обоснование законов термодинамики и установить границы их применимости [2].

Из сказанного ясно, что термодинамика и статистическая физика, объединенные общим предметом исследования, отличаются лишь своими подходами к его изучению и дополняют друг друга до некоего “целого”, иногда называемого “статистической термодинамикой” [2] и представляющего собой единый метод исследования систем, состоящих из достаточно большого числа частиц. Таким образом, термодинамика уже сама по себе является одной из двух ветвей двойственной структуры научного познания тепловой формы движения материи.

Здесь и далее двойственной мы будем называть систему, состоящую из двух неразрывно связанных и взаимодействующих частей, дополняющих и определяющих друг друга [3]. Иначе говоря, двойственность есть наличие “двух структур в одном теле” [4]. Исследование явления двойственности представляет собой одно из возможных направлений творческого развития тектологии [5], которая характеризуется двойственностью (парностью) всех своих основных понятий (категорий) [3].

С точки зрения тектологии [5] , термодинамика и статистическая физика связаны друг с другом дополнительными соотношениями. Кроме того, сам факт разделения процесса изучения свойств макроскопических систем на две относительно самостоятельные отрасли физической науки является иллюстрацией закона расхождения форм, а последующее объединение этих отраслей в единый метод можно квалифицировать как их конъюгацию путем образования новых “связок” (ингрессий) между ними, т.е. как контрдифференциацию.

Заметим, что искусственное разбиение процесса познания тепловой формы движения материи на две составные части – статистическую физику и термодинамику – представляет собой отмеченное Гегелем [6] раздвоение явления при изучении его человеком. В данном случае, по-видимому, имеет место упомянутое в [6] разделение на внутреннее и внешнее, на причину и следствие, на силу и ее проявление.

Переходя к более детальному рассмотрению термодинамики, отметим, что она (как и тектология) характеризуется двойственностью (парностью) своих главных понятий. Действительно, параметры изучаемых термодинамикой систем делятся на микроскопические и макроскопические; последние подразделяются на внешние (определяемые положением не входящих в рассматриваемую систему тел) и внутренние (зависящие от

движения и положения частиц системы); последние, в свою очередь, делятся на экстенсивные (пропорциональные массе или числу частиц системы, т.е. описывающие систему как целое) и интенсивные (не зависящие от массы или числа частиц, т.е. характеризующие каждую точку системы), и т. д.. Здесь мы наблюдаем многократное последовательное раздвоение понятий, которое можно назвать многоуровневой двойственностью.

Состояние системы, в котором каждый макроскопический параметр является одинаковым во всех ее точках (т.е. характеризует систему в целом) и остается постоянным сколь угодно долго при неизменных внешних условиях (т.е. не зависит от времени), называется равновесным; а состояние системы, не удовлетворяющее вышеуказанным условиям – неравновесным. Согласно постулату термодинамики, изолированная (т.е. не обменивающаяся веществом и энергией с внешней средой) система с течением времени обязательно приходит в равновесное состояние и никогда самопроизвольно выйти из него не может [1, 2].

Процесс перехода термодинамической системы из неравновесного состояния в равновесное называется процессом релаксации. При этом для выравнивания значения каждого параметра по всему объему системы существует свое характерное время – время релаксации данного параметра. Роль полного времени релаксации играет, очевидно, максимальное из этих времен. Иначе говоря, скорость релаксации системы равна наименьшей из скоростей релаксации ее параметров. Данное обстоятельство можно интерпретировать как проявление тектологического закона наименьших относительных сопротивлений (или закона слабого звена) [5].

Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных (неравновесных) состояний, называется равновесным (неравновесным). Равновесный процесс (в отличие от неравновесного) может быть проведен в обратном направлении, причем система будет проходить через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы называют также обратимыми, а неравновесные – необратимыми. Обратимый процесс может быть изображен на любой плоскости параметров системы в виде соответствующей кривой, а необратимый процесс изобразить подобным образом невозможно, так как параметры системы в неравновесных состояниях не имеют определенных значений (т.е. имеют различные значения в различных точках системы). Процесс, при котором система после ряда изменений возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом, или циклом [7].

Полная энергия термодинамической системы делится на внешнюю (кинетическую и потенциальную энергию системы как целого) и внутреннюю (кинетическую и потенциальную энергию составляющих систему частиц). Внутренняя энергия системы U может изменяться в результате двух процессов – работы и теплопередачи. Энергии, переданные системе в ходе этих процессов, называются соответственно работой A и теплотой Q. Первое начало термодинамики (для элементарных процессов) можно записать в виде [1, 2]

, (1)

и сформулировать следующим образом: возрастание внутренней энергии системы происходит за счет подвода к системе тепла и совершения над ней работы. По третьему закону Ньютона работа самой системы A отличается от работы над системой Ã лишь знаком:

(2)

Заметим, что первое начало термодинамики связывает полный дифференциал dU (функцию состояния системы U) с двумя неполными дифференциалами δA и δQ (функциями процесса перехода системы из одного состояния в другое A и Q). Следовательно, работа и теплота, являясь по отдельности “неполными” характеристиками системы, причем как в физическом смысле (описывая лишь один из двух способов энергетического воздействия на систему), так и в математическом (будучи неполным дифференциалом, т.е. не являясь функцией состояния системы), дополняют друг друга до некой “полной” характеристики (внутренней энергии) и тем самым представляют собой две структуры в одном теле, связанные первым началом термодинамики.

В случае равновесных процессов работа и теплота, в свою очередь, выражаются через две пары параметров системы [1, 2]:

, (3)

, (4)

где P – давление, V – объем, T – температура, а S – энтропия. Вследствие определенной родственности понятий работы и теплоты (оба они выражают переданную системе энергию) и заимствования термодинамикой понятия работы из механики, где она представляет собой произведение силы f на изменение координаты x

, (5)

экстенсивные параметры V и S называют обобщенными координатами, а интенсивные параметры P и T – обобщенными силами, причем “сила” P является сопряженной к “координате” V, а “сила” T – к “координате” S.

Таким образом, в результате двойного раздвоения понятий у нас, как и в [6], возникает четверка объектов и четверка отношений между ними. Четверка объектов приводит к существованию четырех основных термодинамических процессов – изобарического ( P = const), изохорического ( V = const), изотермического ( T = const ) и изоэнтропического ( S = const ), а четверка отношений проявляет себя в наличии четырех термодинамических потенциалов – внутренней энергии U(V,S), свободной энергии F(V,T), энтальпии H(P,S) и потенциала Гиббса G(P,T). Каждый такой потенциал является функцией двух параметров, один из которых принадлежит паре (P,V), а другой – паре (T,S). Между этими парами параметров вообще существует взаимно-однозначное соответствие, а поскольку якобиан преобразования от одной пары к другой равен единице [2], то такое преобразование сохраняет все площади, а значит (согласно (1), (3) и (4)) и энергии, что делает равноправными координатные плоскости (P,V) и (T,S).

Пары параметров (P,V) и (T,S) достаточно симметричным образом входят во все основные термодинамические соотношения, за исключением, пожалуй, лишь уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева – Клапейрона) [1, 2]

, (6)

где R – универсальная газовая постоянная, m – масса газа, а μ – его молярная масса. Данное уравнение выглядит несимметричным вследствие вхождения в него лишь трех (измеряемых) термодинамических параметров – P, V и T. Однако с введением в рассмотрение четвертого (неизмеряемого) параметра S уравнение Менделеева – Клапейрона может быть симметризовано. Действительно, с учетом элементарных соотношений [1]

, , (7),

выражение (6) принимает вид:

, (8)

где k – постоянная Больцмана, ν – число молей, – число частиц в моле (число Авогадро), а N – число частиц в системе. Как известно из статистической физики [2], энтропия системы, состоящей из N частиц и находящейся в равновесном (или близком к равновесному) состоянии, по порядку величины равна kN, т.е.

(9)

Из (8) и (9) имеем:

(10)

Проведенное нами преобразование наглядно иллюстрирует теоретическую важность понятия энтропии: его введение завершает формирование двухуровневой двойственной структуры термодинамики

( A → P,V и Q → T,S ) , которая позволяет демонстрировать в явном виде скрытую симметрию термодинамических соотношений.

Первая из двух ветвей двойственной структуры термодинамики – “механическая” ( A → P,V ) – в сущности, заимствована термодинамикой из механики, а вторая – “тепловая” ( Q → T,S ) – представляет собой дополнительную (по сравнению с механикой) “степень свободы”, порождающую важнейшие качественные отличия термодинамики от механики (в частности, появление необратимых процессов). Данное обстоятельство иллюстрирует тот факт, что более высокая форма движения материи (в данном случае – тепловая) не сводится к более низкой (в данном случае – механической), но содержит ее в себе как составную часть (в данном случае – как одну из двух ветвей своей структуры).

О тесной взаимосвязи и существенном взаимном влиянии вышеуказанных ветвей свидетельствуют, например, свойства теплоемкости C и модуля упругости K [1]

(11)

(12)

при четырех основных термодинамических процессах:

(13)

, (14)

где под понимается значение величины X при Y = const , а γ представляет собой некоторую постоянную, зависящую только от рассматриваемого вещества. Из (11) – (14) следует, что, располагая какой-нибудь информацией об одной ветви вышеупомянутой двойственной структуры термодинамики (например, зная отношение ), можно сразу же получить некоторую информацию о другой (т.е. отношение ), и наоборот. Данное обстоятельство свидетельствует о том, что обе ветви в какой-то степени определяют друг друга.

Кроме того, из (11) – (14) видно, что ни одна из этих ветвей не отделяется полностью от другой. Действительно, величина C по своему определению (11) вроде бы целиком принадлежит “тепловой” ветви, однако, согласно (13), физический интерес представляют ее значения при изобарическом и изохорическом процессах, которые относятся к “механической” ветви. Обратная картина наблюдается при взгляде на величину K : определение (12) относит ее к “механической” ветви, а процессы (изотермический и изоэнтропический), при которых, согласно (14), она рассматривается – к “тепловой”.

Итак, соотношения (11) – (14) демонстрируют тот факт, что одна термодинамическая конструкция, в формировании которой различным образом участвуют “механическая” и “тепловая” ветви, численно равна другой, при формировании которой вышеуказанные ветви как бы меняются ролями. Таким образом, “механическая” и “тепловая” ветви двойственной структуры термодинамики неразрывно связаны между собой и зачастую не могут быть выделены “в чистом виде”, т.е. действительно представляют собой две структуры в одном теле, а не просто сумму двух слагаемых.

Отметим, что входящая в выражения (13) и (14) величина γ для идеального газа удовлетворяет соотношению

, (15)

где – число степеней свободы газовой молекулы. В простейшем (и наиболее важном) частном случае одноатомного идеального газа имеются только поступательные степени свободы, поэтому и выражение (15) принимает вид

(16)

Из (13) и (16) с учетом уравнения Майера [1, 2]

(17)

получаем:

, , (18)

где

, (19)

Обратная подстановка (18) в (17) и (13) дает:

(20)

(21)

Из (16) и (19) видно, что термодинамические коэффициенты α , β и γ представляют собой отношение чисел ряда Фибоначчи [8], задаваемого формулой

(22)

и имеющего вид

(23)

Однако ряд Фибоначчи имеет непосредственное отношение к золотому сечению [8]. Золотое сечение – это деление целого (точнее, суммы) на две неравные части так, чтобы большая часть ( a ) относилась к меньшей ( b ) как целое – к большей:

(24)

Требование (24) удовлетворяется при выполнении условия

, (25)

где

, (26)

причем величина удовлетворяет уравнению

(27)

Золотое сечение является пределом ряда

, (28)

составленного из отношений соседних чисел ряда Фибоначчи, т.е.

, (29)

где

, (30)

а квадрат золотого сечения – пределом ряда

, (31)

составленного из отношений чисел ряда Фибоначчи, взятых через одно, т.е.

, (32)

где

(33)

Исходя из (33), (30) и (22), легко доказать следующие тождества:

(34)

(35)

Из сравнения (16) и (19) с (28) и (31) можно сделать вывод о том, что характеризующие теплоемкости и коэффициенты α , β и γ являются членами рядов (28) и (31) (или, другими словами, рядов (30) и (33)):

, , (36)

Исходя из (36), легко убедиться, что термодинамические соотношения (20) и (21), которым удовлетворяют коэффициенты α , β и γ , представляют собой частный случай тождеств (34) и (35), отвечающий значению . Кроме того, согласно (20) и (27), соответствующие теплоемкостям и коэффициенты α и β удовлетворяют тому же уравнению, что и величины и . Наконец, из (13) и (16) получаем выражение

, (37)

сравнение которого с (26) показывает, что отношение теплоемкостей и лишь на 3 % отличается от золотого сечения .

Таким образом, в выражениях, задающих важные термодинамические величины – теплоемкости при постоянном давлении и объеме, явно присутствуют “следы” золотого сечения. Но поскольку данные величины, как было показано нами ранее, являются воплощением двойственной (“механической” и “тепловой”) структуры термодинамики, а золотое сечение представляет собой одно из наиболее ярких проявлений гармонии природы [8], постольку можно утверждать, что двойственность и гармония тесно связаны между собой.

Завершая рассмотрение данной темы, обратим внимание на неоднократное появление в ней числа 3 (например, газовая молекула имеет 3 степени свободы, при изучении теплоемкости возникают 3 коэффициента, два из которых – α и β – являются третьими членами соответствующих рядов (31) и (28), а третий – γ – ровно на 3 % отличается от предела ряда (28) – золотого сечения ). Как показано в математической теории гармонии [8], смысл числа 3 тесно связан с устойчивостью и целостностью любых систем (например, Земля – третья планета от Солнца, физическое пространство трехмерно и т.д.). Применительно к термодинамике это может означать неопровержимый и универсальный характер ее основных положений. Все вышесказанное, по-видимому, косвенным образом свидетельствует о гармоничности и фундаментальности термодинамической науки.

Вернемся теперь к первому началу термодинамики (1) и запишем его в интегральном виде [7]:

, (38)

где ΔU – разность конечного и начального значений внутренней энергии системы, Q – теплота, поглощенная системой в процессе перехода из начального состояния в конечное, а A – совершенная ей в этом процессе работа. Так как внутренняя энергия является функцией состояния системы, в случае кругового процесса справедливо

(39)

Выражение (38) с учетом (39) и (2) принимает вид:

или , (40)

т.е. происходит один из двух процессов: 1) поглощенная системой теплота расходуется на совершение работы, или 2) работа внешних сил над системой вызывает выделение теплоты. Таким образом, имеет место превращение теплоты в работу или работы в теплоту (т.е. реализуется принцип эквивалентности работы и теплоты).

Однако опыт показывает, что эти два процесса неравноправны: теплоту невозможно полностью превратить в работу без компенсации, в то время как работа полностью превращается в теплоту без всякой компенсации [1]. Иначе говоря, если теплота превращается в работу и за весь круговой процесс система поглотила теплоту Q , совершив при этом работу A , то всегда Q > A ; если же, напротив, работа A превращается в теплоту Q , то всегда A = Q . Таким образом, в двойственной паре “работа – теплота” (а значит, и в генерируемой ей двойственной структуре термодинамики “механическая ветвь – тепловая ветвь”) наблюдается некоторое нарушение симметрии. Заметим, что нарушенная симметрия вообще часто является спутником двойственности [8].

Из неравноправности работы и теплоты следует второе начало термодинамики [1, 2], которое, в сущности, представляет собой совокупность двух независимых положений:

и , (41)

где стрелки указывают направление процессов. Наиболее распространенная словесная формулировка второго начала термодинамики выглядит следующим образом: энтропия изолированной системы постоянна (если она уже пребывает в равновесном состоянии) или возрастает (если она еще находится на пути к нему, т.е. ее текущее состояние является неравновесным). Математическая формулировка второго начала в самом общем случае имеет вид (для элементарных процессов):

, (42)

где знак равенства относится к равновесным процессам, а знак неравенства – к неравновесным. Следовательно, на самом деле формула (42) распадается на два соотношения

(равновесный процесс) (43)

(неравновесный процесс) (44)

означающие, что увеличение энтропии системы либо равно отношению поглощенной теплоты к температуре (при равновесном процессе), либо больше него (при неравновесном процессе).

Таким образом, второе начало термодинамики раздваивается, вследствие чего происходит аналогичное раздвоение самой термодинамики на две относительно самостоятельные науки – равновесную термодинамику (или термодинамику обратимых процессов) и неравновесную термодинамику (или термодинамику необратимых процессов). Обе эти науки, естественно, базируются на первом начале термодинамики (которое, в сущности, является частным случаем закона сохранения энергии), а из второго начала каждая из них берет свою часть: равновесная термодинамика – принцип постоянства энтропии, а неравновесная – принцип ее возрастания.

Таким образом, здесь мы вновь наблюдаем иллюстрацию тектологического закона расхождения форм [5] и сталкиваемся с еще одной двойственной структурой термодинамики, состоящей из “равновесной” и “неравновесной” ветвей. Заметим, что если рассматривать равновесную и неравновесную термодинамики как организационные комплексы, существующие в пространстве познания, то первое начало можно считать возникшей благодаря ингрессии связкой между этими комплексами, т.е. конъюгационным пространственным кризисом (пространственным кризисом типа C), а второе начало рассматривать как обусловленную дезингрессией тектологическую границу между ними, т.е. дизъюнктивный пространственный кризис (пространственный кризис типа D).

Как уже отмечалось ранее, в неравновесном состоянии параметры системы могут иметь различные значения в разных ее точках. Это означает существование в системе градиентов этих параметров, называемых термодинамическими силами и являющихся причинами возникновения необратимых процессов переноса (энергии, массы, заряда и т.п.), интенсивности которых носят название термодинамических потоков. В слабо неравновесной области (т.е. вблизи от равновесия) между потоками Y_i и силами X_i существует линейная связь [1, 2]

, (45)

где L_ik – кинетические коэффициенты. Диагональные коэффициенты L_ii определяют “прямые” явления переноса, а недиагональные L_ik ( i ≠ k ) – “перекрестные” или “сопряженные” процессы. Действительно, если матрица L – диагональна, т.е.

, (46)

то соотношение (45) принимает вид

(47)

и совпадает с известными эмпирическими законами переноса – например, законом Фурье (описывающим теплопроводность) и законом Фика (описывающим диффузию). В этих частных случаях под Y_i понимаются соответственно потоки тепла и массы, под X_i – градиенты температуры и плотности, а под L_i – коэффициенты теплопроводности и диффузии.

Однако наряду с прямыми процессами переноса в природе возникают и сопряженные с ними процессы. Например, при существовании в системе градиента температуры кроме определяемого законом Фурье переноса тепла может происходить и перенос массы (явление термодиффузии). Подобные процессы описываются недиагональными кинетическими коэффициентами, для которых справедливо соотношение взаимности Онсагера [1, 2]

, (48)

означающее наличие симметрии во взаимосвязи различных процессов переноса и имеющее простую физическую интерпретацию: степень влияния силы X_i на поток Y_k количественно равна степени влияния силы X_k на поток Y_i . Соотношения Онсагера были неоднократно подтверждены экспериментально; например, всякий раз, когда градиент температуры индуцировал перенос массы, оказывалось, что градиент плотности вызывал поток тепла через систему.

Из (45) и (48) вытекает соотношение

, (49)

которое связывает k -й и i -й процессы переноса в двойственную структуру с тесным переплетением и существенным взаимным влиянием ее составных частей. Кроме того, из (49) видно, что, располагая определенной информацией о влиянии первой части двойственной структуры на вторую (т.е. зная величину L_ik ≡ ∂Y_i / ∂X_k ) , мы сразу же получаем аналогичную информацию об обратном влиянии второй части на первую (т.е. величину L_ki ≡ ∂Y_k / ∂X_i ) . Следовательно, одна часть двойственной структуры в какой-то степени определяет другую.

Таким образом, соотношения Онсагера (48) с учетом линейного закона (45) генерируют многокомпонентную двойственную структуру, элементами которой являются все существующие в системе пары процессов переноса, для которых недиагональные кинетические коэффициенты отличны от нуля.

Рассмотрим теперь отдельно так называемый цикл Карно – круговой термодинамический процесс, совершаемый рабочим телом (газом) в идеальной тепловой машине. Исключительная важность этого, казалось бы, частного вопроса заключается в том, что цикл Карно был придуман в ходе первичного теоретического изучения тепловых машин с целью повышения их к.п.д. [9] и, фактически, является первым базовым камнем в фундаменте термодинамики (и одним из центральных ее звеньев), а его автор – французский физик и военный инженер Сади Карно по праву считается основоположником термодинамики. Опираясь на предложенный им цикл (который позднее был назван его именем), он впервые сформулировал практически все основные термодинамические положения: первое и второе начала термодинамики, принцип эквивалентности работы и теплоты, уравнение состояния идеального газа, определение равновесных и неравновесных процессов и тождественность их соответственно обратимым и необратимым процессам, понятие циклов (круговых процессов), принципы работы тепловой машины, строгое определение ее к.п.д. и пути его повышения.

Во введении своей знаменитой работы [9], впервые опубликованной в 1824 г., Сади Карно поднимал вполне конкретные и, как будто бы, частные вопросы: “Ограничена или бесконечна движущая сила тепла в паровой машине? Имеется ли определенная граница для возможных улучшений ее использования? Существуют ли агенты для развития движущей силы огня, предпочтительные водяному пару? Не представляет ли в этом отношении преимуществ атмосферный воздух?”. Однако затем С. Карно, оттолкнувшись от сугубо практических проблем повышения эффективности работы получивших к тому времени широкое распространение паровых машин, поставил научно-теоретическую задачу исследования тепловой машины вообще, нахождения условий ее максимально возможной эффективности, определения соответствующего им максимального к.п.д. тепловой машины и изучения его зависимости от природы ее рабочего тела.

Обосновывая свою постановку задачи, С. Карно, в частности, писал: “Машины, не получающие движения от тепла, а имеющие двигателем силу человека или животных, падение воды, поток воздуха и т.д., могут быть изучены до самых мелких деталей посредством теоретической механики. Все случаи предвидены, все возможные движения подведены под общие принципы, прочно установленные и приложимые при всех обстоятельствах. Это – характерное свойство полной теории. Подобная теория, очевидно, отсутствует для тепловых машин. Ее нельзя получить, пока законы физики не будут достаточно расширены и обобщены, чтобы заранее можно было предвидеть результаты определенного воздействия теплоты на любое тело” [9].

Таким образом, рассмотрение локального вопроса об увеличении к.п.д. тепловой машины фактически привело к появлению утверждения о необходимости создания новой науки – термодинамики. Это, на наш взгляд, есть пример тектологической постановки частной задачи и иллюстрация утверждения А. А. Богданова: “Всякий научный вопрос можно ставить и решать с организационной точки зрения. Эта точка зрения всегда шире и потому способна приводить к результатам более полным или более точным. Опыт всех наук показывает, что решение частных вопросов обычно достигается лишь тогда, когда их предварительно преобразуют в обобщенные формы; и при этом вместе с первоначально поставленным решается масса других, однородных вопросов. Основное значение тектологии – в самой общей постановке вопросов” [5].

В процессе постановки задачи С. Карно стремился к максимальному обобщению и смелому устранению всех побочных деталей: “Чтобы рассмотреть принцип получения работы из теплоты во всей полноте, нужно изучить его независимо от какого-либо конкретного механизма и какого-либо определенного рабочего тела; необходимо провести рассуждения, приложимые не только к паровым машинам, но и ко всем мыслимым тепловым машинам, каково бы ни было используемое в них вещество и каким бы образом на него ни производилось воздействие” [9]. Здесь мы наблюдаем пример мысленного абстрагирования, т.е. удаления осложняющих второстепенных моментов, позволяющего обнаружить основу и суть изучаемых явлений; таким образом, налицо применение тектологической индукции в своей высшей форме – абстрактно-аналитической [5].

Тепловая машина – это устройство, служащее для циклического превращения теплоты в работу. Эффективность тепловой машины определяется ее коэффициентом полезного действия (к.п.д.) η , который представляет собой отношение работы A , совершенной машиной за один цикл, к теплоте Q₁ , поглощенной ей за этот цикл [10]:

(50)

Таким образом, даже по определению тепловая машина является двойственным объектом, в котором одна из его сторон (теплота) периодически преобразуется в другую (работу); причем если объект в целом

задан (т.е. известен к.п.д. тепловой машины η ), то, согласно (50), одна из двух его сторон полностью определяет другую.

По первому началу термодинамики A не может быть больше Q₁ (т.е. η ≤ 1 ), так как в круговом процессе справедливо (39) и работа совершается только за счет поглощенной теплоты, а по второму началу термодинамики A обязательно меньше Q₁ (т.е. η < 1 ), так как для возвращения рабочего тела тепловой машины в исходное термодинамическое состояние (т.е. для замыкания цикла) необходимо часть поглощенной теплоты (обозначим ее Q₂ ) отдавать внешним телам. Следовательно, в тепловой машине необходим не только нагреватель (горячее тело), но и холодильник (холодное тело). Основная идея С. Карно заключается как раз в том, что тепловая машина производит работу не за счет поглощения теплоты, а благодаря передаче теплоты от горячего тела к холодному [9]. Таким образом, для превращения теплоты в работу требуется двойственная (двухполюсная) система “нагреватель – холодильник”. Отметим, что полюсы этой системы связаны между собой дополнительными соотношениями [5], так как один из них (холодильник) ассимилирует то, что дезассимилирует другой (нагреватель) – теплоту.

Графическая интерпретация рассуждений из предыдущего абзаца приведена на рис.1, откуда, в частности, следует соотношение

, (51)

С учетом которого выражение (50) принимает следующий вид:

(52)

Из рис.1 видно также, что двойственность тепловой машины заключается еще и в том, что полный цикл ее работы состоит из двух частей, первая из которых (123) характеризуется поглощением теплоты и совершением работы, а вторая (341) – выделением теплоты и потреблением работы. Первая часть цикла в каком-то смысле является основной (так как в ней осуществляется производство работы, т.е. именно тот процесс, ради которого и создается тепловая машина), а вторая – вспомогательной (так как происходящий в ней процесс служит лишь для возвращения рабочего тела тепловой машины в исходное термодинамическое состояние, т.е. для обеспечения возможности периодической деятельности). В соответствии с этим работа и теплота, фигурирующие в первой (основной) части цикла, всегда превосходят работу и теплоту второй (вспомогательной) части цикла. Таким образом, здесь вновь наблюдается некоторая асимметрия между двумя частями двойственного объекта.

Круговой процесс на рис.1, пробегаемый по часовой стрелке, представляет собой схему работы любой равновесной тепловой машины. Однако все равновесные процессы обратимы – следовательно, проходя цикл на рис.1 в обратном направлении, получаем схему работы холодильной машины, которая, в противоположность тепловой машине, потребляет (а не производит) работу, но при этом передает теплоту от холодильника к нагревателю (см. рис.2), т.е. создает разность температур. Так как назначение холодильной машины заключается в охлаждении холодильника, то естественно определить ее к.п.д. λ как отношение отобранной у холодильника теплоты Q₂ к затраченной на это работе A [10]:

(53)

Определения (50) и (53) связаны единым принципом: к.п.д. представляет собой отношение требуемого результата к необходимым затратам.

Утверждение о возможности обращения цикла идеальной тепловой машины* и превращения ее тем самым из тепловой в холодильную является еще одной фундаментальной идеей С. Карно: “Повсюду, где имеется разность температур, может производиться работа; обратно, повсюду, где можно затратить работу, возможно образовать разность температур” [9]. Из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что одно и то же устройство теоретически может работать и как тепловая, и как холодильная машина. Таким образом, идеальная тепловая машина является двойственным объектом также и том смысле, что потенциально в ней всегда заложена еще и холодильная машина (т.е. в данном случае мы явно наблюдаем две структуры в одном теле). Эта двойственность является отражением возможности протекания любого равновесного термодинамического процесса в двух направлениях – прямом и обратном.

Именно данной двойственностью фактически пользовался С. Карно для доказательства независимости максимального к.п.д. тепловой машины от природы ее рабочего тела [9]. Суть его заключается в том, что рассматриваются две идеальные тепловые машины с общими нагревателем и холодильником, но различными рабочими телами, одна из которых работает по прямому циклу, а другая – по обратному (т.е. является, в сущности, не тепловой, а холодильной), причем работа, производимая первой из них,

_________________________

* Отметим, что идеальная тепловая машина обязательно должна быть равновесной, так как можно показать [1], что при одной и той же полученной от нагревателя теплоте совершенная тепловой машиной за неравновесный цикл работа меньше работы равновесного цикла, откуда с учетом (50) следует, что к.п.д. неравновесной машины всегда меньше, чем равновесной.

потребляется второй. Если бы к.п.д. этих тепловых машин был различным (т.е. зависел бы от природы рабочего тела), то за один полный цикл в системе возникал бы избыток работы, который благодаря периодической деятельности машин мог бы затем неограниченно возрастать, образуя тем самым вечный двигатель, противоречащий закону сохранения энергии. Следовательно, остается признать, что эффективность работы идеальной тепловой машины (т.е. ее к.п.д.) не зависит от природы рабочего тела, а полностью определяется температурами нагревателя и холодильника.

Далее естественным образом возникает вопрос о конкретном виде цикла идеальной тепловой машины (т.е. такого цикла, который обеспечивал бы любой тепловой машине ее максимально возможный к.п.д.). С. Карно начал поиск ответа на него с утверждения о том, что условием максимума к.п.д. (т.е. наибольшей эффективности тепловой машины) является полное отсутствие контактов (соприкосновений) между телами, имеющими различные температуры [9].

Отметим, что отец С . Карно – французский генерал, политик и ученый Лазар Карно, проводя в свое время исследование эффективности работы механических машин, пришел к выводу о том, что для достижения наивысшего к.п.д. любого механического устройства следует полностью избегать контактов (соприкосновений) между телами, движущимися с различными скоростями [11]. Однако из статистической физики известно, что температура тела пропорциональна средней квадратичной скорости поступательного движения составляющих его молекул [2]. Следовательно, в термодинамике пресечение контактов между макроскопическими телами с различными температурами как раз и означает ликвидацию соприкосновений (взаимодействий) составляющих эти тела микроскопических частиц (молекул), движущихся с различными средними скоростями. С точки зрения тектологии [5] С. Карно продемонстрировал здесь явление перенесения методов (из механики в термодинамику), а также проиллюстрировал принцип единства организационных методов.

Требование полного отсутствия контактов между имеющими разные температуры телами означает, что два полюса идеальной тепловой машины – нагреватель и холодильник – не должны соприкасаться друг с другом, а перенос тепла от одного из них к другому обязано осуществлять рабочее тело, которое должно по очереди взаимодействовать с нагревателем и холодильником, причем температура рабочего тела во время его контакта с каждым из полюсов тепловой машины обязана совпадать с температурой этого полюса. С точки зрения тектологии это означает, что для создания максимально организованного комплекса (идеальной тепловой машины) посредством конъюгации двух составляющих его исходных комплексов (нагревателя и холодильника) необходимо введение между ними ингрессивной связки (рабочего тела) – промежуточного звена, которое

обладает необходимыми общими элементами с каждым из соединяемых им звеньев (исходных комплексов), в обоих случаях разными (своей температурой, равной: 1) температуре нагревателя – при контакте с нагревателем, и 2) температуре холодильника – при контакте с холодильником). Именно при конъюгации нагревателя и холодильника с помощью ингрессивной связки в виде рабочего тела мы получаем необходимую для идеальной тепловой машины “работу без теплопередачи” (т.е. максимально эффективную работу без тепловых потерь), а при соединении двух полюсов тепловой машины напрямую (без промежуточного звена) благодаря градиенту температур будем иметь обратный случай –описываемую законом теплопроводности Фурье “теплопередачу без работы” (т.е. фактическое отсутствие тепловой машины).

Итак, максимальная эффективность тепловой машины достигается при осуществлении теплопередачи от двух полюсов тепловой машины (нагревателя и холодильника) к рабочему телу в режиме изотермических процессов ( dT = 0 ) , между которыми рабочее тело должно менять свою температуру от температуры нагревателя до температуры холодильника и обратно, не контактируя при этом ни с одним из полюсов, т.е. находясь в теплоизоляции, или, иначе говоря, в режиме адиабатических процессов ( δQ = 0 ) ; однако согласно (43) равновесный адиабатический процесс является изоэнтропическим ( dS = 0 ) . Таким образом, цикл Карно (т.е. цикл идеальной тепловой машины) состоит из двух изотерм и двух изоэнтроп и имеет графический вид, показанный на рис.3, где T₁ – температура нагревателя, а T₂ – температура холодильника.

При помощи определения (50) и рис.3 можно строго доказать [1, 2], что цикл Карно действительно имеет наибольший к.п.д. по сравнению со всеми другими циклами, работающими в тех же температурных пределах (т.е. имеющими максимальную температуру T₁ и минимальную – T₂ ) . Используя рис.3, опишем функционирование цикла Карно более подробно:

1) Первый этап (1-2) – изотермический процесс ( T = T₁ ). Рабочее тело соприкасается с нагревателем, получая от него тепло Q₁ ; объем растет, давление падает, а энтропия увеличивается от S₁ до S₂

( V↑ , S↑ ; P↓ , T = const ).

2) Второй этап (2-3) – изоэнтропический процесс ( S = S₂ ). Рабочее тело удаляется от нагревателя, находясь в теплоизоляции; объем продолжает расти, давление – падать, а температура понижается от T₁ до T₂ ( V↑ , S = const ; P↓ , T↓ ).

3) Третий этап (3-4) – изотермический процесс ( T = T₂ ). Рабочее тело соприкасается с холодильником, отдавая ему тепло Q₂ ; объем падает, давление растет, а энтропия уменьшается от S₂ до S₁

( V↓ , S↓ ; P↑ , T = const ).

4) Четвертый этап (4-1) – изоэнтропический процесс ( S = S₁ ). Рабочее тело удаляется от холодильника, находясь в теплоизоляции; объем продолжает падать, давление – расти, а температура возрастает от T₂ до T₁ ( V↓ , S = const ; P↑ , T↑ ).

С точки зрения тектологии [5], в точках 1 и 3 (где происходит соединение рабочего тела соответственно с нагревателем и холодильником) наблюдаются конъюгационные кризисы (кризисы типа C), а в точках 2 и 4 (где происходит разъединение рабочего тела соответственно с нагревателем и холодильником) имеют место дизъюнктивные кризисы (кризисы типа D). Кроме того, теплоизоляционная оболочка, в которую заключается рабочее тело во время изоэнтропических процессов, представляет собой типичный пример дегрессии, а структура идеальной тепловой машины в целом (с рабочим телом в качестве центрального комплекса – см. рис.2) может быть названа эгрессией.

Отметим также, что поскольку на первом и третьем этапах цикла Карно воздействие внешней среды на систему (рабочее тело) является необходимым (так как благодаря ему происходит теплообмен, обеспечивающий совершение требуемой работы), а на втором и четвертом – наоборот, крайне нежелательным (так как возникавший при этом теплообмен приводил бы лишь к снижению эффективности и уменьшению к.п.д.), постольку в первом рассмотренном случае система находится под положительным подбором, а во втором – под отрицательным. Следовательно, на первом и третьем этапах цикла Карно (т.е. при теплообмене системы с нагревателем или холодильником) наиболее благоприятной формой рабочего тела является четочная (максимально облегчающая влияние внешней среды), а на втором и четвертом (т.е. при теплоизоляции системы) – слитная (максимально затрудняющая влияние внешней среды).

Наконец, если рассматривать рабочее тело как организационный комплекс, а обобщенные координаты ( V и S ) и обобщенные силы ( P и T ) как составляющие его активности, то становится очевидно, что данный комплекс – организованный, так как его активности сонаправлены, т.е. обе обобщенные координаты (как и обе обобщенные силы) всегда изменяются в одинаковом направлении (т.е. либо вместе увеличиваются, либо вместе уменьшаются; в крайнем случае одна из двух величин может оставаться постоянной). Поскольку одна из обобщенных координат (как и одна из обобщенных сил) характеризует работу, а вторая – теплоту, постольку такая “организованность” комплекса (рабочего тела), по-видимому, как раз и означает наличие в нем максимальной “сонаправленности” теплоты и работы, способствующей наиболее полному (без потерь) превращению одного вида энергии в другой.

Обратим внимание еще и на тот факт, что при нагревании (охлаждении) рабочего тела происходит увеличение (уменьшение) его объема, а не повышение (понижение) температуры, т.е. полученная (отданная) системой теплота расходуется ей на совершение (потребление) работы, а не на увеличение (уменьшение) внутренней энергии, которая (как и температура) благодаря совершенной (потребленной) работе остается постоянной. Таким образом, воздействие внешней среды на систему (теплота), направленное на изменение функции состояния этой системы (внутренней энергии), вызывает в ней такой процесс (работу), в результате которого данная функция состояния остается неизменной. Данное обстоятельство является отражением тектологического закона равновесия Ле-Шателье [5].

Итак, цикл Карно составляют два вида процессов – изотермический и изоэнтропический; каждый из них, в свою очередь, проходится дважды – в прямом и в обратном направлении. Следовательно, у нас вновь происходит двойное раздвоение понятий, в результате чего опять возникает четверка объектов (четыре этапа цикла Карно) и наблюдается двухуровневая двойственность. Эта же четверка может быть получена и другим способом: сначала цикл Карно разбивается на две половины, первая из которых (включающая в себя первый и второй этапы) характеризуется положительной работой системы, а вторая (состоящая из третьего и четвертого этапов) – отрицательной; затем каждая из этих половин, в свою очередь, делится на две части, одна из которых сопровождается теплообменом рабочего тела с одним из полюсов тепловой машины (нагревателем или холодильником), а другая – теплоизоляцией рабочего тела.

Для понимания роли изотермических и изоэнтропических процессов в формировании цикла Карно рассмотрим их более подробно, обсуждая сначала поведение системы в первой половине цикла. Поскольку внутренняя энергия однозначно определяется температурой [1, 2] (а в случае идеального газа просто пропорциональна ей [7]

, (54)

причем коэффициент C_V зависит только от природы вещества газа), постольку среди незамкнутых (некруговых) процессов изотермический процесс является единственным, при котором U = const ( т.е. для которого справедливо выражение (39) ) и единственным, в котором теплота полностью превращается в работу (т.е. для которого справедливо выражение

, (55)

вытекающее из (38) и (39) ) .

Вследствие (55) именно изотермический процесс является самым благоприятным для совершения работы за счет поглощения теплоты, так как в этом случае процесс превращения теплоты в работу происходит абсолютно без потерь. Кроме того, благодаря (39) и (54) только при изотермическом процессе совершенная работа и поглощенная теплота одновременно не зависят от природы рабочего тела тепловой машины, так как его характеристики заложены лишь во внутренней энергии системы, которая в ходе изотермического процесса остается постоянной и поэтому никак не влияет на процесс превращения одной внешней величины (теплоты) в другую (работу). Математический расчет подтверждает факт независимости величин A и Q от параметров вещества системы при изотермическом процессе [2].

Что касается изоэнтропического процесса, то согласно (4) для него справедливо

, (56)

откуда с учетом (38) следует

, (57)

т.е. в данном случае рабочее тело находится в теплоизоляции, а работа совершается им только за счет убыли своей внутренней энергии, в результате чего температура рабочего тела понижается, а работа начинает зависеть от его природы. Математический расчет показывает: данная зависимость выражается в том, что величина A становится функцией параметра γ , определенного согласно (13) [2].

Во второй половине цикла для изотермического этапа по-прежнему справедливы соотношения (39) и (55), а для изоэнтропического – соотношения (56) и (57), только все ненулевые величины в них меняют знак на противоположный, т.е. процессы идут в обратном направлении: на изотермическом этапе совершаемая над системой работа превращается в выделяемую теплоту, а на изоэнтропическом этапе внутренняя энергия растет за счет совершения работы над системой.

Для полного цикла Карно вследствие его замкнутости справедливо соотношение (39), которое с учетом рис.3 можно записать в виде:

(58)

Однако по причине того, что (39) справедливо и для изотермических процессов, имеем:

(59)

Выражение (58) с учетом (59) принимает вид

, (60)

из которого с учетом справедливого для изоэнтропических процессов соотношения (57) получаем:

, (61)

т.е. суммарная работа, совершенная рабочим телом при двух изоэнтропических процессах цикла Карно, равна нулю. Данный вывод подтверждается и непосредственным математическим расчетом [7].

Исходя из (55) и рис.3, имеем

и , (62)

откуда с учетом (51) и (61) получаем:

, (63)

т.е. полная работа A , совершенная рабочим телом за весь цикл Карно, равна сумме работ при двух изотермических процессах и, следовательно, не зависит от природы рабочего тела. Теплота же Q₁ , полученная рабочим телом от нагревателя, согласно (55) и (62) просто совпадает с работой при первом изотермическом процессе, т.е. тоже не зависит от природы рабочего тела. Из всего вышесказанного с учетом определения (50) следует, что к.п.д. цикла Карно η также не зависит от природы рабочего тела.

Итак, изотермические и изоэнтропические процессы в цикле Карно играют совершенно различные роли: первые из них служат для производства работы (посредством передачи тепла от нагревателя к холодильнику), т.е. для выполнения основной функции тепловой машины, а вторые – для изменения температуры рабочего тела (от T₁ до T₂ и обратно), т.е. для предотвращения контактов между разнотемпературными телами (в целях сокращения потерь и повышения эффективности тепловой машины). Таким образом, мы вновь имеем дело с нарушением симметрии двойственных объектов.

Из рассмотрения цикла Карно следует, что максимально возможный к.п.д. тепловой машины не зависит от природы ее рабочего тела. Это обстоятельство, на наш взгляд, имеет по крайней мере два аналога – термодинамический и механический. В качестве первого из них можно рассматривать утверждение о том, что достигаемая в равновесном состоянии максимально возможная энтропия изолированной системы не зависит от начальных условий [1, 2]. Вторым аналогом можно считать известный из релятивистской механики постулат о том, что максимально возможная скорость механического движения частицы (скорость света c ) не зависит от системы отсчета [7]. По-видимому, здесь мы вновь сталкиваемся с проявлением тезиса о единстве организационных методов познания мира [5].

Получим теперь конкретный вид к.п.д. цикла Карно. Интегрируя (4), с учетом рис.3 имеем:

и (64)

Подставляя (64) в (52), получаем [1, 2]:

(65)

Таким образом, к.п.д. цикла Карно η действительно не зависит от природы рабочего тела и предельных изоэнтроп (т.е. от S₁ и S₂ ), а определяется только температурами нагревателя и холодильника, что еще раз подтверждает двойственность (двухполюсность) идеальной тепловой машины.

Из (65) следует

и , (66)

т.е. если двойственная система в целом задана (известен ее к.п.д. η ), то одна из двух ее ветвей однозначно определяет другую. Кроме того, из (65) видно: чем больше разность температур нагревателя и холодильника (т.е. чем меньше отношение T_{2 /} T₁ ), тем выше эффективность идеальной тепловой машины (т.е. тем больше ее к.п.д. η ). Однако равенство T₂ = 0 (а значит, и соотношение η = 1 ) невозможно, так как, согласно третьему началу термодинамики [1], абсолютный нуль температур недостижим; кроме того, при T = 0 справедливо S = 0 , что приводит к невозможности замкнуть цикл Карно при T₂ = 0 [1].

Отметим, что влияние изменения температур T₁ и T₂ на к.п.д. цикла Карно η различно. Действительно, дифференцируя (65), имеем

и , (67)

откуда с учетом T₁ > T₂ получаем:

(68)

Таким образом, изменение температуры нагревателя в меньшей степени влияет на изменение к.п.д. цикла Карно, чем изменение температуры холодильника. Здесь мы вновь сталкиваемся с асимметрией в двойственности.

Выражение (65) можно переписать в виде

(69)

где

, (70)

а η по-прежнему определяется формулой (50). Соотношение (69) позволяет нам обнаружить в рассматриваемой системе (идеальной тепловой машине) еще одну двойственность, ветви которой дополняют друг друга до некоего “целого”, символично равного единице, которая в математической теории гармонии называется “абстрактным целым” [8].

Одна ветвь этой двойственности (описываемая параметром η ) представляет собой отношение произведенной системой работы к затраченной на это теплоте, а другая (описываемая параметром τ ) – отношение температур рабочего тела, при которых осуществлялось выделение и поглощение теплоты (или, соответственно, потребление и совершение работы). Однако, как уже отмечалось ранее, температура вообще полностью определяет внутреннюю энергию системы, а в частном случае идеального газа, кроме того, справедливо соотношение (54), с учетом которого выражение (70) можно переписать в виде

, (71)

где U₁ и U₂ – значения внутренней энергии рабочего тела при температурах T₁ и T₂ . Таким образом, параметр η характеризует работу и теплоту, а параметр τ – внутреннюю энергию.

Работа и теплота привносятся в систему из окружающей среды (при их потреблении) или удаляются из системы в окружающую среду (при их производстве), т.е. являются в какой-то степени внешними характеристиками системы, а внутренняя энергия (как и температура), естественно, представляет собой внутренний параметр системы. Кроме того, внутренняя энергия описывает состояние системы (т.е. ее изменение при переходе из одного состояния в другое всегда равно разности ее значений в этих состояниях и не зависит от пути перехода), а работа и теплота характеризуют процесс перехода системы из одного состояния в другое (т.е. их величина существенным образом зависит от пути перехода). Следовательно, внутренняя энергия описывает “статику” системы, а работа и теплота – ее “динамику”. Наконец, можно утверждать, что наличие в системе (идеальной тепловой машине) разности внутренних энергий (т.е. температур), характеризуемое параметром τ , является причиной протекания в ней процесса превращения теплоты в работу, описываемого параметром η .

Таким образом, здесь мы сталкиваемся с двойственностями типа “внутреннее – внешнее”, “причина – следствие”, “состояние – процесс”, “статика – динамика”. Первые два вида, как мы уже отмечали ранее, встречаются и в [6]. Заметим, что обе ветви вышеуказанных двойственностей цикла Карно связаны воедино соотношением (69), благодаря которому одна из них полностью определяет другую.

Отметим также, что поскольку каждая из ветвей рассмотренной двойственности, в свою очередь, представляет собой исследованный ранее двойственный объект (параметр η – “работа – теплота”, а параметр τ – “нагреватель – холодильник”), постольку мы вновь имеем дело с двухуровневой двойственной структурой, которая, однако, в отличие от предыдущих случаев возникла в результате синтеза (т.е. соединения) уже изученных объектов, а не их анализа (т.е. разделения).

Как уже отмечалось ранее, любая равновесная тепловая машина при обращении своего цикла может работать как холодильная. В случае идеальной тепловой машины (т.е. машины, работающей по циклу Карно) к.п.д. λ обратной ей холодильной машины (работающей по циклу Карно, проходимом в обратном направлении) с учетом (53), (51), (64) и (70) может быть записан в виде:

(72)

Переписывая (69) в форме

(73)

и исключая затем величину τ из соотношений (72) и (73), получаем выражение

, (74)

связывающее воедино две ветви (тепловую и холодильную машины) рассматриваемого двойственного объекта (идеальной тепловой машины) и тем самым позволяющее одной ветви однозначно определять другую.

Перемножая соотношения (72) и (73), получаем выражение

(75)

соединяющее две различные двойственности цикла Карно (“нагреватель – холодильник” и “тепловая машина – холодильная машина”) в новую синтетическую двойственную структуру.

Что же касается двойственности “тепловая машина – холодильная машина”, то в случае равноправия обеих ее ветвей (т.е. при одинаковой эффективности тепловой и холодильной машин, объединенных в одном устройстве – идеальной тепловой машине) тепловой и холодильный к.п.д. равны друг другу, т.е. справедливо соотношение

, (76)

с учетом которого выражение (74) принимает вид

(77)

Решая уравнение (77), с учетом очевидного физического требования η > 0 получаем:

(78)

Сравнение (78) с (26) и [8] дает:

, (79)

т.е. тепловой и холодильный к.п.д. идеальной тепловой машины в случае их совпадения представляют собой величину, обратную золотому сечению (т.е., фактически, то же золотое сечение, только определенное как отношение меньшей части целого к большей, а не наоборот, как мы, согласно (24) – (25), определяли его до сих пор).

Подставляя (76) и (79) в (75), имеем

, (80)

откуда с учетом (70) получаем:

, (81)

т.е. условием совпадения теплового и холодильного к.п.д. идеальной тепловой машины является равенство отношения температур ее нагревателя и холодильника квадрату золотого сечения.

Из (79) и (80) имеем выражение

, (82)

свидетельствующее о том, что в случае одинаковой эффективности тепловой и холодильной машин, заключенных в идеальной тепловой машине, отношение к.п.д. этой машины к определяющему его отношению температур ее полюсов представляет собой золотое сечение.

Проведенный нами расчет наглядно иллюстрирует тот факт, что двойственность является мощным инструментом исследования различных систем. В рассмотренном выше случае двойственный подход позволил нам найти связь между циклом Карно и золотым сечением. Таким образом, золотое сечение, наблюдавшееся до сих пор в таких областях науки и человеческой деятельности, как, например, астрономия, биология, техника, архитектура и музыка [8], теперь обнаружено и в одном из разделов физики – термодинамике.

Сравнение выражений (76) и (82) позволяет вновь заметить взаимосвязь двух различных двойственностей одного и того же объекта – цикла Карно, а именно: установление равноправия (т.е. симметрии) между двумя ветвями одной двойственности (“тепловая машина – холодильная машина”) приводит к возникновению золотого сечения (т.е. гармонии) между двумя ветвями другой двойственности (“параметр η – параметр τ ”). Следовательно, мы опять наблюдаем образование новой двойственной структуры, возникшей в результате синтеза двух ранее изученных двойственных объектов. Таким образом, цикл Карно содержит в себе множество двойственных структур, возникающих в результате как его анализа, так и последующего синтеза.

Как уже было сказано ранее, цикл Карно сыграл огромную роль в становлении и развитии термодинамики. С его помощью С. Карно и его последователями были установлены общие термодинамические законы и получены многие конкретные результаты [1, 11]. Возникновение же самого цикла Карно явилось следствием применения его автором организационного подхода к решению частной задачи. Следовательно, тектология, в сущности, лежит в основе термодинамики. Можно сказать, что термодинамическая наука возникла в результате тектологического подхода к проблемам теплотехники. Что же касается двойственности, то она, как было показано выше, насквозь пронизывает как термодинамику в целом, так и ее “центральный орган” – цикл Карно, который в каком-то смысле является упрощенной и прозрачной моделью термодинамической науки.

Таким образом, тектология фактически представляет собой фундамент термодинамики, а двойственность – ее каркас (или скелет). Следовательно, роль тектологии в термодинамике можно охарактеризовать термином “эгрессия”, а роль двойственности – термином “дегрессия”.

В заключение отметим, что, возможно, именно существенным влиянием тектологии и двойственности можно объяснить ту удивительную целостность и гармоничность термодинамики, о которой писал Альберт Эйнштейн: “Глубокое впечатление произвела на меня термодинамика. Она – единственная физическая теория общего содержания, относительно которой я убежден, что в рамках применимости ее основных понятий она никогда не будет опровергнута” [12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991.
2. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977.
3. Попков В.В. Творческое наследие А. Богданова и создание Международного института // Вестник Международного инстиута А. Богданова, 2000, № 1, С. 22 – 34.
4. Лефевр В.А. Конфликтующие структуры. М.: Советское радио, 1973.
5. Богданов А.А. Тектология (Всеобщая организационная наука). В 2-х книгах. М.: Экономика, 1989.
6. Гегель Г. Наука логики. М.: Мысль, 1998.
7. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х томах. Т.1: Механика, молекулярная физика. М.: Наука, 1987.
8. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. М.: Стройиздат, 1990.
9. Карно С. Размышления о движущей силе огня и машинах, способных развивать эту силу. // Второе начало термодинамики. Под ред. акад. Тимирязева А.К. М., Л.: Гостехтеориздат, 1934, С. 15 – 61.
10. Фен Дж. Машины, энергия, энтропия. М.: Мир, 1986.
11. Бродянский В.М. Сади Карно (1796 – 1832). М.: Наука, 1993.
12. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 1965.

ПОДПИСИ К РИСУНКАМ

Рис.1. Общий вид цикла произвольной тепловой машины на плоскостях параметров T,S (а) и P,V (б): A = площадь (1234), Q₁ = площадь (51236), Q₂ = площадь (51436).

Рис.2. Принципиальные схемы работы тепловой (а) и холодильной (б) машин.

Рис.3. Цикл Карно на плоскостях параметров T,S (а) и P,V (б).